分散が2乗じゃないとどうなるのか

Introduction

分散はなぜ偏差の絶対値ではなく2乗を使うのか。この話題は度々Twitterでもみかけます。
こういうのってちゃんと統計の講義を受けたら説明してもらえるんでしょうかね？筆者は高校でも大学でも統計をちゃんと教わったことがないので実際どうなっているのかわからないのですが、高校生向けの教材を見る限りにおいてはいきなり2乗が出てきて絶対値だとどうなるのかみたいなあまり詳しく扱われていないと思います。ただ、数理統計の教科書を読んでみると結構いろいろなことが書いてあります。
バイト¹で必要に迫られちょくちょく調べて得た知見をもとに2乗以外だとどうなるのかということをまとめていきたいと思います。
何かツッコミや質問等ありましたらページ下部のコメントフォームまたはTwitterまでお願いします。

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目次

• Introduction
• 1. 分散と平均値
  • 1.1. 不偏推定量
• 2. 中央値と平均絶対偏差
  • 2.1. 中央値不偏推定量
  • 2.2. 中央値絶対偏差
• 3. "0-ノルム"と最頻値
  • 3.1. ∞ノルムでは？
• 4. 「ばらつき」と距離
• 参考文献

1. 分散と平均値

ある変数の列 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ ² があるとします。
このデータをある一つの値 $\mu$ で代表したとき、その値がどれくらい信頼できるかという指標がほしいですね。代表値と各々のデータの誤差を絶対値として平均する

${\displaystyle {\mathrm{MAE}}_{\mu }=\frac{1}{n}\sum _i^n|X_i-\mu |}$

:Mean Absolute Error(平均絶対値誤差) と、2乗した値を平均する

${\displaystyle {\mathrm{MSE}}_{\mu }=\frac{1}{n}\sum _i^n(X_i-\mu {)}^2}$

:Mean Squared Error(平均二乗誤差) とが考えられます。

誤差が小さい $\mu$ の方が代表値として嬉しいのでこれらの誤差を最小にする $\mu$ を考えてみますが、絶対値があると数式的に計算が面倒なので後に回し、まずは $\mathrm{MSE}$ を計算してみます。

${\displaystyle \frac{d}{d\mu }{\mathrm{MSE}}_{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i}2({\mu }^2-X_i)=2\{\mu -(\frac{1}{n}\sum _i{X}_i)\}}$

より ${\mathrm{MSE}}_{\mu }$ は $\mu =\frac{1}{n}\sum _i{X}_i$ のとき極値をとります。導関数が $\mu$ について1次なので明らかにこれは最小値で、代入すると $\frac{1}{n}\sum _i{X}_i^2-(\frac{1}{n}\sum _i{X}_i{)}^2$ を取ることがわかります。
いうまでもなくこれらは(算術)平均値と分散ですね。つまり平均値は平均二乗誤差を最小にするデータの代表値、分散はこれに対するデータの「ばらつき」であるとみなすことができます。
他の統計量と比べ数学的にも扱いやすく、特に正規分布との相性がよく正規分布の仮定をおけばさらに色々な情報が表せるため引っ張りだこな統計量です。

1.1. 不偏推定量

「数学的に扱いやすい」ということを見るため平均と分散の不偏性を確認してみましょう。
推測統計の立場から、上の $X_1,\dots ,X_n$ をある分布に従う母集団から無作為抽出した確率変数の集合＝標本として見ます。この標本から母集団の性質を推定したいというのが推測統計の目的です。
さて、この標本に対する統計量とは $X_1,\dots ,X_n$ を引数に取る関数であるので抽出に対しランダム性を持っています。このランダムネスに対して取った期待値が「真の値」＝母集団の統計量と一致していると嬉しいのでこのような性質を持つ統計量を不偏推定量と呼びます。

詳しい計算は省きます³が、平均値は不偏推定量です。
分散はそのままでは不偏推定量ではありませんが、常に母分散の $\frac{n-1}{n}$ 倍になっているので $\frac{n}{n-1}$ 倍してやると不偏推定量になります。

さらに言えば、この期待値についての平均二乗誤差を考えてやるとこれが小さいほど母推定の信頼度が高いと言えます(より有効であるという⁴)。これは重み付け平均や中央値(中央値が不偏推定量となる場合(母分布が左右対称な場合など)に限る)よりも平均の場合のほうが小さく、この意味でも平均値は有用です。

2. 中央値と平均絶対偏差

前章で飛ばした ${\mathrm{MAE}}_{\mu }$ についても考えていきます。
${\mathrm{MSE}}_{\mu }$ は $\mu$ についての$|1\mathrm{次}\mathrm{式}|$を足し合わせたものなので区分的に1次関数でかつ連続になっています。$X_1,\dots ,X_n$ を昇順に並び替えたものを $X_1^{\prime },\dots ,X_n^{\prime }$ として、 $\mu$ を $\mu =X_i^{\prime }(i=1,\dots ,n)$ となる境界値で場合分けしていきます。

$\mu \le X_1^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=-n$
$X_1^{\prime }\le \mu \le X_2^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=-n+2$
$⋮$
($n$:偶数のとき)
$X_{n/2-1}^{\prime }\le \mu \le X_{n/2}^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=-2$
$X_{n/2}^{\prime }\le \mu \le X_{n/2+1}^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=0$
$X_{n/2+1}^{\prime }\le \mu \le X_{n/2+2}^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=2$
($n$:奇数のとき)
$X_{(n-1)/2}^{\prime }\le \mu \le X_{(n+1)/2}^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=-1$
$X_{(n+1)/2}^{\prime }\le \mu \le X_{(n+3)/2}^{\prime }\text{のとき},\text{傾き}=1$
$⋮$
$X_n^{\prime }\le \mu \text{のとき},\text{傾き}=n$

となるので、連続性から増減を考え
$\{\begin{array}{ll}{X}_{n/2}^{\prime }\le \mu \le X_{n/2+1}^{\prime }& :n\text{が偶数のとき}\\ mu=X_{(n+1)/2}^{\prime }& :n\text{が奇数のとき}\end{array}$
のときに ${\mathrm{MAE}}_{\mu }$ は最小になります。

偶数のときは幅がありますが、 $\mu =\frac{X_{n/2}^{\prime }+X_{n/2+1}^{\prime }}{2}$ はこの範囲内なので、$\mu$ が中央値のとき ${\mathrm{MAE}}_{\mu }$ は最小になります。これはMean Absolute Deviation(平均絶対偏差)と呼んだりします。(ただし「平均絶対偏差」は$\mu$が平均値など他の統計量である場合も指すことがある。つまり”MAD”と言ったときにそれが中央値をを中心とした絶対偏差であるかどうかは文脈による。)

2.1. 中央値不偏推定量

さて、代表値と「ばらつき」を表す統計量が定義されたのでこれを使って母推定を行いたいですね。
結論から言えば中央値は一般には⁵不偏推定量ではありません。
このnote に標本中央値による推定と母中央値が一致しない具体例が示されている通り、標本中央値は期待値として母集団の性質を反映していません。
しかし、期待値とは確率分布に対する平均値です。中央値が相手の土俵で戦って真価を発揮しないのはある意味当然と言えるでしょう。
上記資料では引き続き「中央値不偏推定量(median-unbiassed estimator)」という推定量を導入しています。標本統計量に対して取る中央値が母推定量であるような統計量を定めたもので、中央値はめでたくこれに該当することがわかります。

2.2. 中央値絶対偏差

ところでMAEの定義には違和感があります。というのも偏差として $|X_i-\mu |$ を取った後に全体をまとめるときに平均を使っている点です。MAEが中央値と関連しているのならば $|X_i-\mu |$ の代表値としては中央値をとってもいいはずです。

${\displaystyle {\mathrm{MAE}}_{\mu }^{\prime }=\mathrm{median}[|X_i-\mu |(i=1,\dots ,n)]}$

:Median Absolute Error(中央値絶対値誤差) (MAEという略称が被ってしまったので’をつけています)と呼ばれることがあります ⁶。

これが $\mu =\mathrm{median}[X_i]$ で最小になりかつ中央値不偏統計量になっていてくれると大変きれいですがどうも中央値不偏にはならないようです。だいぶ計算がしんどいので詳しくはまたの機会にしますが、こういう統計的扱いやすさの差が平均・分散との使われ方の差になっているのかなと思います。

3. "0-ノルム"と最頻値

「ばらつき」の定義として偏差の2乗と1乗の場合を見たのでそのままのノリで「0乗」の場合を考えてみましょう。

${\displaystyle {\mathrm{MZE}}_{\mu }=\frac{1}{n}\sum _i^n|X_i-\mu {|}^0}$

(Mean Zero-norm Error …というものが一般に定義されているわけではなく今名前をつけました。)
ここで「$x^0$」は $x=0$ で定義されませんが、便宜的に $0^0=0$ と定義します。
このように定義した $\sum _i|x_i{|}^0$ は距離の定義を満たさない⁷ものの、 $L^p$ノルムで $p\to 0$ とした極限であるため、"0-ノルム"と呼ばれることがある⁸そう。なお、本記事の MAE、MADはそれぞれ $p=1,2$ の $L^p$ノルムに相当します。

この場合、 $X_i\ne \mu$ のときは $1$ 、 $X_i=\mu$ のときは $0$ となるので、$\sum _i|X_i-\mu {|}^0$ はすなわち $\mathrm{\#}\{i|X_i\ne \mu \}=n-\mathrm{\#}\{i|X_i=\mu \}$ になります。
$X_i=\mu$ である $i$ の個数が最大の $\mu$ とは他ならぬ最頻値のことであり $\mathrm{MZE}$ は $\mu$ で最小となります。

これもまた解析がしんどいので今後の課題としますが、中央値と同様、最頻値不偏性(mode-unbiassedness)を導入することもできるようです⁹

3.1. ∞ノルムでは？

指数を減らした場合があるのなら当然指数を増やしたバージョンも考えられます。
$p=3,4,\dots$と順に考えていけるはずですが、きりがないので一気に $p\to \mathrm{\infty }$ の極限を考えてみます。"0-ノルム"の場合に習って $L^{\mathrm{\infty }}$ ノルムを考えるとこの場合は $|x{|}_{\mathrm{\infty }}=max\{|x_1|,|x_2|,\dots \}$ となるので

${\displaystyle {\mathrm{MME}}_{\mu }=\frac{1}{n}max|X_i-\mu |}$

(これもまた造語)
これは $\mu$ が $X_i$ の最大値と最小値の中点にある時(これには中点値と名付けられています¹⁰)に最小になり、範囲 $R=\underset{i}{max}{X}_i-\underset{i}{min}{X}_i$ として最小値 $R/2n$ をとります。

4. 「ばらつき」と距離

長くなりましたが以上で見たように、(統計的にどれくらい有用かを別として)様々な「距離」¹¹の定義に応じて「ばらつき」を定義できるが、2乗の場合が一番使いやすそうだということが言えると思います。やはり微分可能であるというのが大きい。

最後に「距離」と統計量の対応をまとめてみます。

代表値	「ばらつき」	対応する「距離」
平均値	分散	$L^2$ノルム (ユークリッド距離)
中央値	平均絶対偏差	$L^1$ノルム (マンハッタン距離)
最頻値	不正解率	“0-ノルム”
中点値	範囲/$2n$	$L^{\mathrm{\infty }}$ノルム (一様ノルム・チェビシェフ距離)

参考文献

尾畑伸明(2014)『数理統計学の基礎』共立出版
Takayuki Uchiba (2020)「標本中央値は母中央値の不偏推定量か」note https://note.com/utaka233/n/n412b5e6e4c73
@greatonbi (2020)「腑に落ちない人のための不偏性と一致性の解説」 https://qiita.com/greatonbi/items/ec5db93ec70189704c0e
Lp空間 - Wikipedia
Average absolute deviation - Wikipedia

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1. 高校教材の校正業務をしています。最近統計必修化の対応でこの分野の問題が増えてきたためゆとりなんでわかんないですじゃ済まなくなってきて大変です。 ↩︎

2. この「データ」の扱いかたは立場によって変わってきます。記述統計の立場では表すべき全データ、推測統計の立場では母集団から確率的にサンプリングした標本、ベイズ統計の立場では逆に確率的に母集団パラメータを確率的に定めるデータというようになりますね。ベイズはともかく記述統計と推測統計の用語はしばしば入り交じるのでめちゃくちゃややこしいです。 ↩︎

3. この記事なんかが実際に実験してみた結果も載っているのでわかりやすいと思います。 ↩︎

4. 『数理統計学の基礎』p170 ↩︎

5. 左右対称な分布などでは中央値は平均値と一致し、不偏統計量となる。 ↩︎

6. https://en.wikipedia.org/wiki/Median_absolute_deviation ↩︎

7. 斉次性($|ax|=a|x|$)を満たさない ↩︎

8. https://ja.wikipedia.org/wiki/Lp空間#p___の場合 なお、ちゃんと距離の定義を満たす別の「$L^0$ノルム」も存在するそうです。 ↩︎

9. Sung, Nae-Kyung (1990) “An Optimality Criterion for Median-unbiased Estimators” Journal of the Korean Statistical Society - Sec.3 (読みかけ) ↩︎

10. https://ja.wikipedia.org/wiki/要約統計量#中点値 ↩︎

11. 数学的な距離の定義を満たさない"0-ノルム"も含む ↩︎